A.1.0.0.1 定理の証明

$f(x)=0$ の解の個数は有限個である。そのうち $[a,b]$ に含まれるものを大き さの順に並べて

$$x_1<x_2<\cdots<x_{n}$$

とする。$n+1$ 個の区間

$$I_0=[a,x_1),\quad I_1=(x_1,x_2), \quad I_2=(x_2,x_3), \quad I_{n-1}=(x_{n-1},x_n), \quad I_n=(x_n,b]$$

の和集合において ($f(x)$ は $0$ とならないので) $N(x)$ が定義できる。 以下では

1. 各区間 $I_j$ において $N(x)$ は定数である:
   
   $$\exists \{n_j\}_{j=0}^{n}\quad\mbox{s.t.}\quad N(x)=n_j\quad\mbox{($x\in I_j$, $j=0,1,\cdots,n$)}$$
   
   

2. $n_{j+1}-n_j=-1$ ( $j=0,1,\cdots,n-1$)

であることを証明する (この二つから容易に $N(a)-N(b)=n$ が導かれる)。