3 一般の $\R^n$ における極座標

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x_1 &=& r\cos \theta_1 x_2 &=& r\si... ...n\theta_1\sin\theta_2\cdots\sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1} \end{array} \right.$$ (1)

ただし $(r, \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_{n-1})$ は次の条件式で 定義される $\R^n$ の部分集合 $D$ を動くとする:

$$\begin{array}{l} r \ge 0, \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_{n-2} \in [0,\pi], \theta_{n-1}\in [0,2\pi) \end{array}$$ (2)

写像

$$\varphi_n\colon D\ni (r, \theta_1, \theta_2,\cdots, \theta_{n-1}) \longmapsto (x_1, x_2, \cdots, x_n)\in\R^n$$

のヤコビアンについては、次の定理が成り立つ。

この証明を与えるかわりに、そのヒントとなる問題を掲げておく。