3.0.0.1 問題

$ \fourvector{x}{y}{z}{w}\in\R^4$ に対して、次の式を満たす $ \fourvector{r}{\theta_1}{\theta_2}{\theta_3}$$ 4$ 次元極 座標と呼ぶ:

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{lcl}
x &= &r\cos\theta_1 \\
y &= &r\sin\th...
...\theta_2}{\theta_3}\in
I:= [0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,\pi]\times[0,2\pi).
$

(1) $ \left\{
\begin{array}{lcl}
X &= &r\cos\theta_1 \\
Y &= &r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\
u &= &r\sin\theta_1\sin\theta_2 \\
v &= &\theta_3
\end{array}\right.
$ とすると、写像 $ \fourvector{r}{\theta_1}{\theta_2}{\theta_3}
\mapsto\fourvector{X}{Y}{u}{v}$ のヤコビアンは $ r^2\sin\theta_1$ であることを示せ。
(2) $ \left\{
\begin{array}{lcl}
x &= & X \\
y &= & Y \\
z &= & u\cos v \\
w &= & u\sin v
\end{array}\right.
$ とするとき、写像 $ \fourvector{X}{Y}{u}{v}
\mapsto\fourvector{x}{y}{z}{w}$ のヤコビアンを求め、 $ \fourvector{r}{\theta_1}{\theta_2}{\theta_3}\mapsto
\fourvector{x}{y}{z}{w}$ のヤコビアンが $ r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2$ であることを示せ。
(3) $ 4$ 次元単位球 $ \{(x,y,z,w); x^2+y^2+z^2+w^2<1\}$$ 4$ 次 元 Jordan 測度を求めよ。



桂田 祐史