2 空間極座標

空間に直交する座標軸 $x$ 軸、$y$ 軸, $z$ 軸を取って座標を入れる $x y z$ 座標系で $(x,y,z)$ という座標を持つ点 $\mathrm{P}$ の原点からの距離を $r$, $z$ 軸の正方向となす角を $\theta$ ( $0\le \theta \le \pi$), $\mathrm{P}$ を $x y$ 平面に正射影した点を $\mathrm{P}'$ として、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}'}$ が $x$ 軸の正方向となす角を 反時計回りに計った角度を $\phi$ ( $0\le\phi<2\pi$) とすると

$$\left\{ \begin{array}{l} x = r \sin\theta \cos \phi \\ y = r \sin\theta \sin \phi \\ z = r \cos\theta \end{array}\right.$$

が成り立つ。

写像

$$f\colon [0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi) \ni (r,\theta,\phi) \longmapsto (x,y,z) \in \R^3$$

は $C^\infty$- 級で、定義域を $\Omega:=(0,\infty)\times(0,\pi) \times[0,2\pi)$ に制限すれば $1$ 対 $1$ である。特に

$$f\vert _\Omega\colon (0,\infty)\times(0,\pi)\times[0,2\pi) \ni (r,\theta,\phi) \longmapsto f(r,\theta,\phi)\in\R^3\setminus \{(0,0,z); z\in\R\}$$

は全単射である。

逆の計算、つまり $(x,y,z)$ から $(r,\theta,\phi)$ を求める には、$r$, $\theta$ は

$$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2},$$

$$\theta = \Arccos\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right) \mbox{(ただし $(x,y,z)\ne (0,0,0)$)}$$

と $x$, $y$, $z$ の式として簡単に表される。 $\phi$ の方は前と同様、強いて書けば

   $$\mbox{$(x,y)\ne (0,0)$\ のとき}$$$$\quad \phi=\arg(x,y) \in [0,2\pi).$$

なお、

空間極座標のヤコビアン

$x=r\sin\theta\cos\phi$, $y=r\sin\theta\sin\phi$, $z=r\cos\theta$ により $f\colon(r,\theta,\phi)\mapsto (x,y,z)$ を定義すると

$$\det f'=\frac{\rd(x,y,z)}{\rd(r,\theta,\phi)}=r^2\sin\theta.$$

証明. ヤコビ行列は

$$f'(r,\theta,\phi) =\left( \begin{matrix} x_r & x_\theta & x_\phi ... ...hi & r\sin\theta\cos\phi\\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{matrix}\right).$$

後はこの行列の行列式を計算するだけである。

例えば、まず多重線形性を使って、

$$\det f'= r\cdot r\sin\theta\cdot \det \left( \begin{matrix} \sin\... ...\theta\sin\phi & \cos\phi\\ \cos\theta & -\sin\theta & 0 \end{matrix}\right).$$

$3$列目で展開し、再び多重線形性から

$$\det f' =r^2\sin\theta \left( (-1)^{1+3} (-\sin\phi) \left\vert \begin{ma... ... \cos\theta\cos\phi \cos\theta & -\sin\theta \end{matrix} \right\vert \right)$$

$$=r^2\sin\theta \left( -\sin^2\phi \left\vert \begin{matrix}\sin\t... ...\theta & \cos\theta \cos\theta & -\sin\theta \end{matrix} \right\vert \right)$$

$$=r^2\sin\theta \left(\sin^2\phi+\cos^2\phi\right) =r^2\sin\theta. \qed$$

$\qedsymbol$