7 球面調和関数

(工事中)

$x=(x_1,\cdots,x_n)\in\R^n$ に対して、

$\displaystyle r$	$\displaystyle :=$	$\displaystyle \vert x\vert,$	(7)
$\displaystyle \sigma$	$\displaystyle :=$	$\displaystyle \frac{\;x\;}{r}$	(8)

とおくと、 $r\in[0,\infty)$ , $\sigma\in S^{n-1}:=\{x\in\R^n; \vert x\vert=1\}$ である。

独立変数 , $\cdots$ , の次同次多項式 $P(x_1,\cdots,x_n)$ は、次同次性の定義から

$\displaystyle P(x)=P(r\sigma)=r^k P(\sigma)$

を満たす。

$\begin{jdefinition}[体球調和関数、球面調和関数] $k$\ 次同次多�... ...c function}, \textbf{surface harmonic function}) と呼ぶ。 \end{jdefinition}$

が次の体球調和関数とするとき、

$\displaystyle 0=\Laplacian P(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(\frac{\rd^2}{\rd r^2} +\frac{n-1}{r}\frac{\rd}{\rd r} +\frac{1}{r^2}\Laplacian_S \right) (r^k P(\sigma))$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (k(k-1) r^{k-2}+(n-1)k r^{k-2})P(\sigma) +r^{k-2}\Laplacian_S P(\sigma)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle r^{k-2}(\Laplacian_S P(\sigma)+k(n+k-2)P(\sigma)).$