6.0.0.1 証明

仮定から $1$ 変数関数 $h=h(r)$ が存在して、 $u(x)=h(\vert x\vert)$. すると $\Laplacian_S u=0$ となるから、

$$\Laplacian u =\frac{\rd^2 u}{\rd r^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\rd u}{\rd r} =h''(r)+\frac{n-1}{r}h'(r) =\frac{1}{r^{n-1}}(r^{n-1}h(r))'.$$

ゆえに、もしも $\Laplacian u\equiv 0$ ならば

$$r^{n-1}h'(r)\equiv C$$   $$\mbox{($C$\ は定数)}$$$$.$$

これから

$$h(r)=\int \frac{C}{r^{n-1}}\D r =\left\{ \begin{array}{ll} C_2... ...frac{1}{r^{n-2}} & \mbox{($n\ne 2$\ のとき)}.\quad\qed \end{array} \right.$$