6 Laplace-Beltrami 作用素と $ n$ 次元 Laplacian

$ \R^3$ の単位球面 $ S=\{(x,y,z)\in\R^3; x^2+y^2+z^2=1\}$ の上で定義さ れたスカラー関数 $ w$ が与えられているとする。平面領域上の関数と同様に、 $ w$ の勾配 $ \grad_S w$ なるものが自然に定義できて、$ S$ 上のベクトル場 を形成する。$ S$ 上の関数 $ v$

$\displaystyle \int_S \psi v \D\sigma=-\int_S \grad_S\psi\cdot\grad_S w \D\sigma$   $\displaystyle \mbox{($\psi\in C^1(S)$)}$

を成り立たせるものが存在するとき、この $ v$ $ \Laplacian_S w$ と書く ことにしよう。こうして定義された

$\displaystyle \Laplacian_S: w\mapsto \Laplacian_S w
$

を球面上の Laplace-Beltrami 作用素と呼ぶ。

同様にして、任意次元の単位球面における Laplace-Beltrami 作用素が定義 できる。


\begin{jproposition}[Laplacian と Laplace-Beltrami operator の関係]
$n$\ ...
...面 $S^{n-1}$\ 上の
Laplace-Beltrami 作用素である。
\end{jproposition}

証明. $ \R^n$ で定義された滑らかな関数 $ \psi$ で、十分大きな球の外側および 原点の近傍上で 0 になるものを任意に取る。部分積分により

$\displaystyle \int_{\R^n}\psi\Laplacian u \Dx
= -\int_{\R^n}\nabla\psi\cdot\na...
...t_0^\infty r^{n-1}
\left(
\int_S\nabla\psi\cdot\nabla u \D\sigma
\right)\D r.
$

以下で見るように

$\displaystyle \nabla\psi\cdot\nabla u
= \frac{\rd\psi}{\rd r} \frac{\rd u}{\rd r}
+\frac{1}{r^2}\grad_S\psi\cdot\grad_S u
$

であるから
$\displaystyle \int_{\R^n}\psi\Laplacian u \Dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_S
\left(
\int_0^\infty r^{n-1}\frac{\rd\psi}{\rd r}\frac{\r...
...t_0^\infty r^{n-3}
\left(
\int_S\grad_S\psi\cdot\grad_S u \D\sigma
\right)\D r$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_S
\left(
\int_0^\infty \psi\frac{\rd}{\rd r}
\left(r^{n-1}\f...
...a
+\int_0^\infty r^{n-3}
\left(
\int_S \psi\Laplacian_S u \D\sigma
\right)\D r$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{\R^n}\psi
\left[
\frac{1}{r^{n-1}}\frac{\rd}{\rd r}
\left(r^{n-1}\frac{\rd u}{\rd r}\right)
+\frac{1}{r^2}\Laplacian_S u
\right]\Dx.$  

$ \psi$ の任意性から

$\displaystyle \Laplacian u
= \frac{1}{r^{n-1}}\frac{\rd}{\rd r}
\left(r^{n-1}\frac{\rd u}{\rd r}\right)
+\frac{1}{r^2}\Laplacian_S u
$

が得られる。 $ \qedsymbol$ $ \qedsymbol$

$ n=2$, $ 3$ の場合に得られている Laplacian の極座標表示から、 Laplace-Beltrami 作用素の公式が得られる。

\begin{jcorollary}[$2$, $3$\ 次元の Laplace-Beltrami 作用素]
$\R^n$\ ($n=...
...phi^2}
& \mbox{($n=3$)}.
\end{array} \right.
\end{displaymath}\end{jcorollary}


\begin{jcorollary}[$r$\ のみによる調和関数]
$\R^n\setminus\{0\}$\ に...
...x{($n\ne 2$)}
\end{array} \right.
\end{displaymath}となる。
\end{jcorollary}


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桂田 祐史