$n=2$ の場合

(上の議論をもう一度最初からやってみる) $x$, $y$ の $k$ 次同次 多項式 $P(x,y)$ で調和なものに対して、 $f(\theta):= P(\cos \theta,\sin\theta)$ とおくと、

$$0=\Laplacian P = \left(\frac{\rd^2}{\rd r^2}+\frac{1}{r}\frac{\rd}{\rd r}+ \frac{1}{r^2}\frac{\rd^2}{\rd\theta^2} \right) (r^k f(\theta))$$

$$= k^2 r^{k-2} f(\theta)+r^{k-2}f''(\theta) =r^{k-2}(k^2 f(\theta)+f''(\theta)).$$

ゆえに

$$f''(\theta)+k^2f(\theta)=0.$$

この一般解は

$$f(\theta)=C_1 \cos k\theta+C_2\sin k\theta$$   $$\mbox{($C_1$, $C_2$\ は任意定数)}$$$$.$$

ゆえに $k$ 次同次多項式で調和なものは、以下の $2$ つの多項式の $1$ 次結 合に限られる。

$$r^k\cos k\theta={\rm Re}\;\left[(x+\sqrt{-1})^k\right], \quad r^k\sin k\theta={\rm Im}\;\left[(x+\sqrt{-1})^k\right].$$

上の議論を振り返れば、$n=2$ の場合の球面 (円周と言うべきか) 上の Laplace-Beltrami 作用素の固有値は、$-k^2$ ( $k=0,1,2,\cdots$) で尽くさ れ、その固有関数は球面調和関数に他ならないことが簡単に分かる。