3.2 局所離散化誤差、公式の次数

解法 (3) の、 $t$ における局所離散化誤差 (local truncation error) を

$$\tau(t,h):=\frac{1}{h} \left[ x(t+k h)-L(t,t+h,\cdots,t+k h,x(t),x(t+h),\cdots,x(t+k h)) \right]$$

で定義する。 これを用いて公式の次数 (order, 位数とも呼ぶ) を 次のように定義する。

$$m \DefIff \mbox{$C^m$-級の一意解を持つ任意の初期値問題に適用した場合}$$

$$\tau(h)\DefEq\max_{t\in[a,b-kh]}\vert\tau(t,h)\vert=O(h^m) \mbox{($h\to 0$)}$$

この $\tau(h)$ を大域的離散化誤差 (global discretization error, global truncation error) と呼ぶ。

あらく言って $m$ 次の公式とは、 Taylor 展開して考えたとき、$m$ 次の項まで一致するものであって、 次のような性質を持つ:

(i)

(どういうわけか運良く) 第 $j$ ステップまで誤差なく計算出来たとすると

$$x(t_{j+1})-x_{j+1}=O(h^{m+1})$$   $$\mbox{($h\to 0$)}$$$$.$$

(ii)

実際は誤差が累積するので

$$x(t_{N})-x_{N}=O(h^m)$$   $$\mbox{($h\to 0$)}$$$$.$$

この左辺を全離散化誤差 (total discretization error) と呼ぶ。

収束のための条件

以下の三条件が成り立つならば、 $h\to 0$ とするとき、近似解が真の解に収束することが証明できる。

(i)

公式の次数が少なくとも $1$ 以上 (適合条件 (consistency) を満たす)。

(ii)

$\Phi$ が $x_j,x_{j+1},\cdots,x_{j+k}$ について Lipschitz 条件を満たす。

(iii)

初期値 $x_1,x_2,\cdots,x_{k-1}$ が適切に用意される。