3.1 多段法, 段数

$k$ 段法とは $x_{j+k}$ を定めるために

$$x_{j+k} = a_0 x_j+a_1 x_{j+1}+\cdots+a_{k-1} x_{j+k-1} + h \Phi(t_j,t_{j+1},\cdots,t_{j+k},x_j,x_{j+1},\cdots,x_{j+k})$$ (3)

$$\equiv L(t_j,t_{j+1},\cdots,t_{j+k},x_j,x_{j+1},\cdots,x_{j+k},h)$$

のように $x_j$, $x_{j+1}$, $\cdots$, $x_{j+k}$ を含んだ方程式を 用いる数値解法のことである。

このような方程式のことをスキーム (scheme) と呼ぶ。

ここで $a_0$, $\cdots$, $a_{k-1}$ は $\dsp\sum_{i=0}^{k-1}a_i=1$ を 満たす定数であり、$\Phi$ は $f$ によって定まる、 微分・積分などの無限小演算を含まない写像で、 $f\equiv 0$ ならば $\Phi\equiv 0$ となるものである。 この $(k, \{a_i\}_{i=0}^{k-1}, \Phi)$ が一つの方法を特徴づける。