8 Stiff problem (硬い問題)

以下は工学的見地からの説明である (新しい言葉に説明がついているが、 数学的な定義になっていないものが多い)。

じていすう時定数 (time scale)とは、 解が $\Dfrac{1}{e}$ に減衰するのに必要な時間のことである¹⁴。 $x(t)$ が $\tau$ を正の定数として

$$x(t)=\exp\left({-\frac{t}{\tau}}\right)$$

のように表されているのならば $\tau$ が時定数である。

こういう問題を数値解法で解く場合、 数値的安定性の要請から小さな時定数にあわせて $h$ を選ぶと、 なかなか計算が進まない。 これは数値解法に特有の困難である (もとの問題自身は安定である)。

$A$ -stable な方法があればよいが、
のような「否定的な」結果がある。そこで対応策として、

• $A$ -stable はあきらめ、 別の (もう少し弱くした) 安定性の概念を考える。 Stiff stability (S-安定性) の概念。ギアGear の方法。
• $A$ -stable な陰的 Runge-Kutta 法はかなり次数の高い公式が作られている。

などが考えられる。