3.1.0.1 問

Euler 法、Runge-Kutta 法がこの形になっていることを確かめよ。

• 上の整数 $k$ をスキームの段数 (step number) と呼ぶ。
• Euler 法、Runge-Kutta 法では、段数 $k=1$ である。 このときは
  $$L(t_j,t_{j+1},x_j,x_{j+1},h)=x_j+h \Phi(t_j,t_{j+1},x_j,x_{j+1})$$
  という形、つまり
  $$x_{j+1}=x_j+h \Phi(t_j,t_{j+1},x_j,x_{j+1})$$
  というスキームになる。
• $k\ge 2$ なるスキームを多段法 (multistep method) と呼ぶ。
• $\Phi$ が $x_{j+k}$ によらないように表される時、 陽解法 (explicit method)であると呼び、 そうでない場合を陰解法 (implicit method) と呼ぶ。 陰解法では $x_{j+k}$ を求めるために、 (一般には非線型の) 方程式を解かねばならないので、 ほとんどの場合に反復法が必要になり、面倒であるが、 次数が高くて安定性のよい方法が作れる。