2.4 Euler 法

微分係数の定義より、$h$ が十分小さければ

$$\frac{\D x}{\D t}(t_j) =\lim_{\eps\to0}\frac{x(t_j+e)-x(t_j)}{\eps}$$

$$\kinji \frac{x(t_j+h)-x(t_j)}{h}$$

と近似できる。

そこで

$$\frac{\D x}{\D t}(t_j)=f(t_j, x(t_j))$$

から $\{x_j\}_{j=0}^N$ に関する方程式

$$\boxed{\frac{x_{j+1}-x_j}{h}=f(t_j,x_j)}$$ (4)

を得る (正確には、 この方程式の解として $\{x_j\}$ を定義するわけである)。

(4) を整理して、

$$x_{j+1}=x_j+h f(t_j,x_j)$$ (5)

なる「隣接二項」の漸化式を得る。$x_0$ は分かっているわけだから、 これから $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_N$ を順番に計算できる。

以上が前進Euler 法である ³。 前進 Euler 法は素朴であるが、次の意味で「うまく働く」。

$f$ が連続かつ $x$ について Lipschitz 条件を満たす程度の滑らかさがあれば、
$(t_j,x_j)$ を結んで出来る折れ線をグラフとする関数は、
$N\to\infty$ とするとき、真の解に収束する。

しかし、 実は Euler 法はあまり効率的ではないため、実際に使われることはまれである。

(一方で、後退 Euler 法は、無条件に安定となるため、しばしば利用される。)