2.2 目的とする問題

常微分方程式の初期値問題

$$\Dfrac{\D x}{\D t} = f(t,x)$$ (1)

$$x(a) = x_0$$ (2)

を考える¹。つまり $f$, $a$, $x_0$ が与えられたとき、 (1), (2) を満たす 未知関数関数 $x=x(t)$ を求める、ということである。

詳しく言うと、

• $f$ は $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{n+1}$ のある開集合 $\Omega$ 上定義され、 $\mathbb{R}^n$ に値を取る関数である: $f\colon\Omega\to\mathbb{R}^n$
• $x_0\in\mathbb{R}^n$
• $(a,x_0)\in \Omega$

この問題に対して、解の存在や一意性などの基本的なこ とは十分に分かっていると言って良い (これについては、大抵の常微分方程式 の数学科向けのテキストに解説がある)。

一方、この問題は、特別な $f$ に対してしか、具体的に解けないことが良 く知られている。例えば三体問題は歴史上重要なものとして精力的 に研究されたが、結局求積法では解けないことが証明された。

そこで、数値解法の出番となる。