A.5.5 一般化された Strum 列

一松先生の本にあった Strum 列の定義の条件は森先生の本よりも少し緩い条件であった (つまり一般化してあると言える)。明示していないけれど $p_k(\lambda)$ の連続性は仮定されている、と思う。

次の性質を持つ関数列 $\{p_k(\lambda)\}_{k=0}^n$ を Strum 系と言う。

各 $p_k(\lambda)$ の解は有限個; $p_{k}(\lambda_0)=p_{k+1}(\lambda_0)=0$ はありえない。
$p_k(\lambda_0)=0$ のとき $p_{k-1}(\lambda_0)p_{k+1}(\lambda_0)<0$ .
$p_0(\lambda)$ は定符号。

もちろん対応する Strum の定理の結論は少し複雑になる。

$\begin{jtheorem}[一般化された Strum の定理] $\{p_k(\lambda)\}_{k=0}^n$... ...$ から $-$ に変化)}. \end{array} \right. \end{displaymath}\end{jtheorem}$

証明. 略 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

$\begin{jcorollary} $N(a)\ne N(B)$ ならば $[a,b]$ 内に $p_n(\lambda)=0$ の解がある。 \end{jcorollary}$

$\begin{jcorollary}[実対称三重対角行列の固有値問題] $n$ 次実�... ...�� $p_{k-1}(\lambda)=0$ の根がある ($k=1,2,\cdots,n$)。 \end{jcorollary}$

証明. 略。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

桂田祐史