A.5.4 直交多項式の作る Strum 列

(まあここは単なる覚え書き。後で肉付けするかもしれない。)

$ w\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ は連続で、有限個の点で 0 になる他は正で、

$\displaystyle \sup_{k\in\mathbb{N}}\int_a^b x^k w(x) \Dx<\infty
$

を満たすような関数とする。このとき $ [a,b]$ 上の実数値連続関数全体の集合に

$\displaystyle (u,v)_w:= \int_a^b u(x)v(x) w(x) \Dx
$

で定義される内積を導入して、内積空間としたものを $ H_w(a,b)$ とする。

関数列 $ \{1,x,\cdots,x^n\}$ から Gram-Schimidt の直交化法によって得ら れる直交多項式系を $ \{p_0(x),p_1(x),\cdots,p_n(x)\}$ とする。


\begin{jproposition}
$H_w(a,b)$ において関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$ ...
...$=1$}
\right\}
=\Vert p_n/\mu_n\Vert _w.
\end{displaymath}\end{jproposition}


\begin{jproposition}
$H_w(a,b)$ において関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$ ...
...はすべて単根で、区間 $[a,b]$ の内部にある。
\end{jproposition}


\begin{jproposition}
$H_w(a,b)$ において関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$ ...
...bda_k=(p_k,p_k)_w$, $\mu_k=$ $p_k(x)$ の最高次係数。
\end{jproposition}


\begin{jproposition}
$H_w(a,b)$ において関数列 $\{1,x,\cdots,x^n\}$ ...
...laymath}は区間 $[a,b]$ において Strum 列をなす。
\end{jproposition}



桂田 祐史