B..1 定義

Napier の時代にはまだ文字式による計算が行われておらず、 彼は物理的な模型を使った説明を行っているが、 その内容を現代の用語に翻訳すると次のようになる。 $r=10^7$ とおき、$x$ と $y$ の間に

$$x=r\left(1-\frac{1}{r}\right)^y$$

の関係があるとき、$y$ を $x$ の対数とよんだ。 この文書ではこれを Napier の対数とよび、 $\mathrm{Nap.Log} x$ を書くことにする。

この式は

$$\frac{x}{r}=\left[\left(1-\frac{1}{r}\right)^r\right]^{y/r}$$

と書き直される。

$$b:=\left(1-\frac{1}{r}\right)^r$$

とおくと、

$$\frac{y}{r}=\log_b\frac{x}{r}$$

であるが、

$$b\kinji \frac{1}{e},$$

実際

$$b^{-1}=2.718281964\cdots\kinji e+1.350\times10^{-7}.$$

以上の事実を「Napier の対数は実質上 $1/e$ を底とする対数である」と 言うことが多いようである (しかしこの文からは漏れてしまうところが大きいので、 この文を述べるのには注意が必要であると思われる)。