3.2 手順の説明

高校の数学IIIの演習問題などでおなじみの

$$\log_a b=\lim_{h\to 0}\frac{b^h-1}{a^h-1}$$

で解釈できる。

二つの与えられた正数 $a$, $b$ (ただし$a\ne 1$) に対して、

$$a_0:=a,\quad b_0:=b,$$

$$a_{n+1}=\sqrt{a_n},\quad b_{n+1}=\sqrt{b_n} \mbox{($n=0,1,2,\cdots$)}$$

により数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ を定義すると

$$a_n=a^{c_n},\quad b_n=b^{c_n},\quad c_n:=2^{-n}$$

であり、 $c_n=2^{-n}\to 0$ ( $n\to\infty$) であるから、

$$\log_a b=\lim_{n\to\infty}\frac{b_n-1}{a_n-1}.$$

そこで十分大きな $n$ を取れば

$$\log_a b\kinji \frac{b_n-1}{a_n-1}.$$

ブリッグスは $n=54$ と取ることで (つまり平方根を続けて 54 回計算する)、 $16$ 桁精度の値を得ることに成功した。