2.4.1 ロジスティック方程式 (logistic equation)

ロジスティック方程式の初期値問題

$$\frac{\D x}{\D t}=(k-\lambda x)x$$ (8)

$$x(0)=c$$ (9)

(ここで $k$, $\lambda$, $c$ は正の定数) を解くプログラムを作成し、解曲線を描け。 複数の解曲線 (初期値を変える) を同時に描いてみよ。 ロジスティック方程式について資料を探して調べてみよ。

$c\ne\frac{k}{\lambda}$ のとき、解は次式で与えられる。

$$x(t)=\frac{kc}{\lambda c+(k-\lambda c)e^{-kt}}.$$ (10)

( $c=\frac{k}{\lambda}$ のときは、 $x(t)=\frac{k}{\lambda}$ である。)

以前、資料調べをしたことがあった (原典中心なので、 現代的な解説は微分方程式の教科書的な本を当たると良いだろう)。

「マルサスの法則, フェルフルストのロジスティック方程式, ロトカ・ヴォルテラの方程式」

平衡点やその安定性を調べることを勧める。 (用語の定義は、付録 D, D.3, D.3 を見よ。 そこに載っている定理で安定性の判定が可能であるが、 この場合は解が得られているので、それから安定性を判定することもできる。)