A..1 「下三角行列の逆行列は下三角行列」

$A=(a_{ij})$ を下三角行列とする。 下三角行列 $B=(b_{ij})$ で $A B=I$ を満たすものが存在することを示す (そうすれば一般に得られている逆行列の一意性からOK)。

$$\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\delta_{ij}$$   $$\mbox{($1\le i\le n$, $1\le j\le n$)}$$$$.$$

これは $i<j$ ならば両辺 0 でつねに成立している。$i\le j$ とするとき、

$$\sum_{k=j}^i a_{ik}b_{kj}=\delta_{ij}.$$

これは

$$\sum_{k=j}^{i-1} a_{ik}b_{kj}+a_{ii}b_{ij}=\delta_{ij}.$$

と書き直せる。$\sum$ の部分は既知、 $a_{ii}\ne 0$ であることに注意すると、 $b_{ij}$ が求まることが分かる。