2.6.3 2次形式の平方完成と Gauss の消去法

実対称行列の正値性、負値性の判定に、 Gauss の消去法が利用できることに唐突な印象を持ったかも知れないが、 実は2次式に対しての基本操作である「平方完成」は Gauss の消去法と関係がある。 このことを見てみよう。

$A=(a_{ij})$ が実対称行列であるとする。 $a_{11}\ne 0$ であれば

$$a_{11}\left(x_1+\sum_{j=2}^n \frac{a_{1j}}{a_{11}}x_j\right)^2 =a_{11}x_1^2+2x_1\sum_{j=2}^n a_{1j}x_j +\frac{1}{a_{11}}\left(\sum_{j=2}^n a_{1j}x_j\right)^2$$

$$=a_{11}x_1^2+x_1\sum_{j=2}^n a_{1j}x_j+x_1\sum_{i=2}^n a_{i1}x_i ... ...{a_{11}}\left(\sum_{i=2}^n a_{i1}x_i\right) \left(\sum_{j=2}^n a_{1j}x_j\right)$$

$$=a_{11}x_1^2+\sum_{j=2}^n a_{1j}x_1 x_j+\sum_{i=2}^n a_{i1}x_i x_1 +\sum_{i,j=2}^n\frac{a_{ij}a_{1j}}{a_{11}}x_i x_j$$

$$=a_{11}x_1^2+\sum_{j=2}^n a_{1j}x_1 x_j+\sum_{i=2}^n a_{i1}x_i x_... ...} x_i x_j +\sum_{i,j=2}^n\left(\frac{a_{ij}a_{1j}}{a_{11}}-a_{ij}\right)x_i x_j$$

$$=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j +\sum_{i,j=2}^n\left(\frac{a_{ij}a_{1j}}{a_{11}}-a_{ij}\right)x_i x_j$$

であるから、

$$\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j =a_{11}\left(x_1+\sum_{j=2}^n \frac{... ...ight)^2 +\sum_{i,j=2}^n\left(a_{ij}-\frac{a_{i1}a_{1j}}{a_{11}}\right)x_ix_j.$$

これは Gauss の消去法の前進消去過程と同じである。 与えられた2次形式が、 平方完成を繰り返すことで標準形に変換出来る場合には (齋藤 [5], pp. 157-158 に載っている Lagrange の方法 の特別な場合)、 Gauss の消去法で計算可能である。 実際、実対称行列 $A$ が $A=LU$ と分解できたとき、

$$d_i:=u_{ii},\quad u'_{ij}:=\frac{u_{ij}}{d_i},$$

$$D:=\diag(d_1,\dots,d_n),\quad U':=(u'_{ij})$$

とおくと、

$$A=L D U'$$

となる (LDU分解)。 $\Vector{x}'=U'\Vector{x}$, すなわち

$$\begin{array}{llr} x_1'&=&u_{11}x_1+u_{12}x_2+\cdots+u_{1,n-1}x_... ..._{n-1}'&=&u_{n-1,n-1}x_{n-1}+u_{n-1,n}x_n,\\ x_{n}'&=&u_{n,n}x_n \end{array}$$

とおくと、

$$(A\Vector{x},\Vector{x}) =d_1 {x'_1}^2+{d_2 x'_2}^2+\dots+d_n{x'_n}^2.$$