1.2 定数変化法で解く

$ x''(t)=0$ の一般解は $ x(t)=C_1+C_2 t$ ($ C_1$, $ C_2$ は任意定数) である。 そこで $ x(t)=C_1(t)+C_2(t)t$ とおく。

$\displaystyle x'(t)=C_1'(t)+C_2'(t)t+C_2(t).
$

(1) $\displaystyle C_1'(t)+C_2'(t)t=0$

を仮定すると、 $ x'(t)=C_2(t)$. ゆえに $ x''(t)=C_2'(t)$ であるから

$\displaystyle C_2'(t)=-f(t).
$

(1) から

$\displaystyle C_1'(t)=-C_2'(t)t=t f(t).
$

ゆえに

      $\displaystyle C_1(t)=C_1(0)+\int_0^t s f(s) \D s,$
      $\displaystyle C_2(t)=C_2(0)-\int_0^t f(s) \D s.$

これから

$\displaystyle x(t)=C_1(0)+\int_0^t s f(s) \D s+C_2(0)t-t\int_0^t f(s) \D s.
$

境界条件 $ x(0)=0$ より $ C_1(0)=0$ である。$ x(1)=0$ より

$\displaystyle 0=x(1)=\int_0^1 s f(s) \D s-\int_0^1 s f(s)\D s.
$

ゆえに

$\displaystyle C_2(0)=\int_0^1 f(s) \D s-\int_0^1 s f(s) \D s
=\int_0^1 (1-s)f(s) \D s.
$

ゆえに

    $\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =\int_0^t s f(s) \D s+\int_0^1 t(1-s)f(s) \D s-t\int_0^t f(s) \D s$
      $\displaystyle =\int_0^t\left[s +t(1-s)-t\right]f(s) \D s+\int_t^1 t(1-s)f(s) \D s$
      $\displaystyle =\int_0^t s(1-t)f(s) \D s+\int_t^1 t(1-s)f(s) \D s.$

桂田 祐史
2019-12-21