1.2 定数変化法で解く

$x''(t)=0$ の一般解は $x(t)=C_1+C_2 t$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数) である。 そこで $x(t)=C_1(t)+C_2(t)t$ とおく。

$$x'(t)=C_1'(t)+C_2'(t)t+C_2(t).$$

$$C_1'(t)+C_2'(t)t=0$$ (1)

を仮定すると、 $x'(t)=C_2(t)$. ゆえに $x''(t)=C_2'(t)$ であるから

$$C_2'(t)=-f(t).$$

(1) から

$$C_1'(t)=-C_2'(t)t=t f(t).$$

ゆえに

$$C_1(t)=C_1(0)+\int_0^t s f(s) \D s,$$

$$C_2(t)=C_2(0)-\int_0^t f(s) \D s.$$

これから

$$x(t)=C_1(0)+\int_0^t s f(s) \D s+C_2(0)t-t\int_0^t f(s) \D s.$$

境界条件 $x(0)=0$ より $C_1(0)=0$ である。$x(1)=0$ より

$$0=x(1)=\int_0^1 s f(s) \D s-\int_0^1 s f(s)\D s.$$

ゆえに

$$C_2(0)=\int_0^1 f(s) \D s-\int_0^1 s f(s) \D s =\int_0^1 (1-s)f(s) \D s.$$

ゆえに

$$x(t) =\int_0^t s f(s) \D s+\int_0^1 t(1-s)f(s) \D s-t\int_0^t f(s) \D s$$

$$=\int_0^t\left[s +t(1-s)-t\right]f(s) \D s+\int_t^1 t(1-s)f(s) \D s$$

$$=\int_0^t s(1-t)f(s) \D s+\int_t^1 t(1-s)f(s) \D s.$$