2 より一般の2階線形常微分方程式の境界値問題のGreen関数

ここに書いてある話は良く知られていることではあるが、 (初学者は探すのが一苦労であろうから) 参考書をあげれば、例えば藤田 [1]。 桂田 [2] というノートがある。 [2] で書いたまとめを引用しておく。

2階線形常微分方程式の境界値問題のまとめ

• 正値性の仮定 ( $p(t)\ge\exists\delta>0$)を満たす $2$ 階線型 常微分方程式の境界値問題について、 交代定理「可解 $\Iff$ 一意 $\Iff$ 一意可解」がなりたつ。
• 同次境界条件の場合、 一意可解性が成り立つならば、 境界値問題の解は Green 関数を用いて 表わされる。
• 形式的自己共役な場合には、 一意可解性の簡単で具体的な判定条件がある。 またその場合、Green 関数は対称性を持つ。
• 形式的自己共役でない場合も、 十分小さい (絶対値の大きな負数) $\lambda$ に 対して、 $L_\lambda:=L_0+\lambda$ に対する境界値問題の一意可解性が成り立つ。

また明治大学数学科3年生向けの「常微分方程式1」 (by 森本先生) でも講義される。 以下のまとめかたは、その講義の内容を拝借したものである。

直接のつながりはないが、 初期値問題の Green 関数については、 桂田 [3] を見よ。

$A\in M(n;\C)$, $b\in\C^n$ に対して、

$$A x=b$$ (2)

という線形方程式を考えよう (未知数の個数$=$方程式の個数，の連立1次方程式)。

$A^{-1}$ が存在     $\LongIff$     $\left(A x=0\quad\Then\quad x=0\right)$

に注意しよう。このとき、任意の $b$ に対して、 (2) の解は一意的に存在し、それは $x=A^{-1}b$ で与えられる。

$G$ を境界値問題 (3) の Green関数 (Green function) と呼ぶ。

なお、藤田 [1] 定理? では、

$$-u'(a)+\sigma_1 u(a)=u'(b)+\sigma_2 u(b)=0$$

という境界条件も扱っている。

任意の $f$ に対して解が存在することから、 一意性が出るか？

$p,q,r\in C([a,b];\C)$ かな？ $p(t)\ge\delta>0$ はどこで効くのだろう？

証明. $\varphi$, $\psi$ を定める常微分方程式の初期値問題は、 確かに一意可解である。

$\varphi$, $\psi$ は1次独立である。実際、 $c_1\varphi+c_2\psi=0$ とすると、

$$v(t):=c_1\varphi(t)=-c_2\psi(t)$$

とおくと、

$$L_0[v]=0,\quad v(a)=c_1\varphi(a)=0,\quad v(b)=-c_2\psi(b)=0$$

であるから、一意性の仮定から $v=0$ が導かれ、

$$c_1=c_1\varphi'(a)=v'(a)=0,\quad c_2=c_2\psi'(b)=-v'(b)=0.$$

ゆえに Wronskian は 0 にならない: $W(s)\ne 0$ ($s\in I$).

後のために、 $\varphi(b)\ne 0$, $\psi(a)\ne 0$ を示す。 もしも $\varphi(b)=0$ と仮定すると、 $\varphi$ は $L_0[\varphi]=0$, $\varphi(a)=\varphi(b)=0$ を満たすので、 仮定 (同次境界値問題の解の一意性) から、 $\varphi\equiv0$ が導かれ、 $\varphi'(a)=1$ と矛盾する。同様にして $\psi(a)\ne 0$ が得られる。

定数変化法で解を求めよう。

$$u(t)=c_1(t)\varphi(t)+c_2(t)\psi(t)$$

とおくと、

$$u'(t)=(c_1'\varphi+c_2'\psi)+(c_1\varphi'+c_2\psi').$$

ここで

$$c_1'(t)\varphi(t)+c_2'(t)\psi(t)=0 \mbox{($t\in I$)}$$ (3)

を仮定すると、

$$u'(t)=c_1\varphi'+c_2\psi'.$$

ゆえに

$$u''(t)=c_1'\varphi'+c_2'\psi'+c_1\varphi''+c_2\psi''.$$

これらから、

$$L_0[u]=c_1L_0[\varphi]+c_2L_0[\psi]+p(c_1'\varphi'+c_2'\psi').$$

$u$ が $L_0[u]=f$ の解であるためには

$$c_1'\varphi'+c_2'\psi'=\frac{f}{p}$$ (4)

であることが必要十分である。 (4), (5) をまとめて

$$\begin{pmatrix} \varphi & \psi\\ \varphi' & \psi' \end{pmatrix}\... ...} c_1' c_2' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \dfrac{f}{p} \end{pmatrix}.$$

ゆえに

$$\begin{pmatrix} c_1' c_2' \end{pmatrix}= \frac{1}{W} \begin{pm... ... \begin{pmatrix} -\dfrac{\psi f}{p W} \dfrac{\varphi f}{p W} \end{pmatrix}.$$

これから ($a$ と $b$ のどちらから積分するかは、後を見越した工夫)

$$c_1(t)=c_1(b)+\int_b^t\frac{-\psi(s)f(s)}{W(s)p(s)} \D s,\quad c_2(t)=c_2(a)+\int_a^t\frac{\varphi(s)f(s)}{W(s)p(s)} \D s.$$ (5)

ゆえに

$$u(t)=\left(c_1(b)+\int_t^b\frac{\psi(s)f(s)}{W(s)p(s)} \D s\righ... ...t) +\left(c_2(b)+\int_a^t\frac{\varphi(s)f(s)}{W(s)p(s)} \D s\right) \psi(t).$$

境界条件に代入して ( $\varphi(a)=\psi(b)=0$ に注意すると)、

$$0=u(a)=c_2(a)\psi(a),\quad 0=u(b)=c_1(b)\varphi(b).$$

$\psi(a)\ne 0$, $\varphi(b)\ne 0$ であるから、 $c_1(b)=c_2(a)=0$. ゆえに

$$u(t)=\varphi(t)\int_t^b\frac{\psi(s)f(s)}{W(s)p(s)} \D s +\psi(t)\int_a^t\frac{\varphi(s)f(s)}{W(s)p(s)} \D s =\int_a^b G(t,s)f(s) \D s. \qed$$

$\qedsymbol$

$p,q,r$ が実数値で、$q=p'$ である場合、 $L_0$ は形式的自己共役であるという ¹。 これは

$$(L_0[u],v)=(u,L_0[v])$$

となることにちなむ。実際

$$L_0[u]=p u''+q u'+r u=p u''+p' u'+r u=(p u')'+r u$$

に注意すると、

$$(L_0[u],v) =\int_a^b(p u')'v \Dt+\int_a^b r uv \Dt =\left[p(t) u'(t) v(t)\right]_a^b -\int_a^b(p u')v' \Dt +\int_a^b r u v \Dt$$

$$=-\int_a^b u'(p v')\Dt +\int_a^b r u v \Dt =-\left[u(t)p(t)v'(t)\right]_a^b+\int_a^b u (pv')'\Dt+\int_a^b r u v \Dt$$

$$=\int_a^b u\left[(pv')'+rv\right]\Dt =(u,L_0[v]).$$

この証明を見れば分かるように、 「形式的自己共役」というときは、境界条件も込めて考えるべきものである (そういう意味では、 境界条件に言及しない「$L_0$ は形式的自己共役」という言い方には問題がある)。

証明. $u_1$, $u_2$ が共に解とする。 $u:=u_1-u_2$ とおく。

$$L_0[u]=0,\quad u(a)=u(b)=0$$

が成り立つ。 $L_0[u]$ に $u$ をかけて部分積分すると

$$0=(L_0[u],u) =\int_a^b (p u')' u \D t+\int_a^b r u^2 \Dt =\left[p u' u\right]_a^b-\int_a^b p u' u' \Dt+\int_a^b r u^2 \Dt$$

$$=-\int_a^b p(u')^2 \Dt+\int_a^b r u^2 \Dt \le-\delta\int_a^b (u')^2 \Dt.$$

移項して $\delta$ で割って

$$\int_a^b (u')^2 \Dt\le 0.$$

これから $u'= 0$. $u$ は定数だが、 $u(a)=u(b)=0$ なので実は $u=0$. ゆえに $u_1=u_2$. $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

証明. 上の二つの定理の系である。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$