2.2 厳密解

結果の式が簡単になるように、 適当な初期条件を課した初期値問題の解を求めよう。

$\theta_0$ を $0<\theta_0<\pi$ なる定数として、

$$k:=\sin\frac{\theta_0}{2}$$ (5)

とおき、初期条件を

$$\theta(0)=0,\quad \theta'(0)=2k\omega$$ (6)

とする。前項の議論から振幅が $\theta_0$ であることが分かる。

この初期値問題の解は

$$\theta(t) =2\sin^{-1}\left(k\;\mathrm{sn}\left(\omega t,k\right)\right)$$

であることを示そう。

まずエネルギー保存則 (4) から

$$\frac{\D\theta}{\D t}=\sqrt{2}\omega\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}.$$

($\pm$ をつけるべきかもしれないが、 $\theta'(0)>0$ であるから、 $t$ が小さいうちはこの微分方程式に従うはずである。)

これは変数分離形の微分方程式である。天下りであるが、

$$k z=\sin\frac{\theta}{2}$$ (7)

と変数変換する。

$$\cos\theta-\cos\theta_0 =\left(1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\right) -\left(1-2\sin^2\frac{\th... ...=2\left( \sin^2\frac{\theta_0}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2} \right) =2(k^2-k^2z^2)$$

$$=2k^2(1-z^2).$$

また

$$k \D z=\frac{1}{2}\cos\frac{\theta}{2}\cdot\D\theta$$

より

$$\D\theta=\frac{2k \D z}{\cos\frac{\theta}{2}} =\frac{2k \D z}{\sqrt{1-k^2z^2}}.$$

(多分、(4) を、 $z(t)$ に関する微分方程式に変換する、 とやればもっとすっきりした議論になるのでしょう。いつか書き直そう。)

これから

$$t =\int_0^{t}\Dt =\int_0^{\theta}\frac{1}{\sqrt{2}\omega}\cdot \fra... ...\int_0^{z} \frac{1}{\sqrt{2}k\sqrt{1-s^2}}\cdot\frac{2k \D s}{\sqrt{1-k^2s^2}}$$

$$=\frac{1}{\omega}\int_0^z\frac{\D s}{\sqrt{(1-s^2)(1-k^2s^2)} }.$$

すなわち

$$\omega t=\int_0^z\frac{\D s}{\sqrt{(1-s^2)(1-k^2s^2)}}.$$

これは、Jacobi の楕円関数 $\mathrm{sn}$ を用いると ( $\omega t=\mathrm{sn}^{-1}(z,k)$ であるから)

$$\mathrm{sn}(\omega t,k)=z=\frac{1}{k}\sin\frac{\theta}{2}$$

と解ける。ゆえに

$$\theta(t)=2\sin^{-1}\left(k\;\mathrm{sn}(\omega t,k)\right).$$ (8)

これが初期値問題 (2), (6) の厳密解である。