予備的考察

後のために、 $E$ を振幅 ($\theta$ の最大値) $\theta_0$ で書き直しておこう ⁴。 $\theta=\theta_0$ のとき $\theta'=0$ であるから、

$$\frac{1}{2}\cdot 0^2-\omega^2\cos\theta_0=E.$$

これから

$$E=-\omega^2\cos\theta_0.$$

ゆえに (3) は次のように書き換えられる。

$$\frac{1}{2}\theta'(t)^2-\omega^2\left(\cos\theta(t)-\cos\theta_0\right)=0.$$ (4)

ある時刻に $\theta=0$ となったとすると、 $(\theta')^2=2\omega^2(1-\cos\theta_0) =4\omega^2\sin^2\dfrac{\theta_0}{2}$ であるから、

$$\theta'=\pm 2\omega\sin\frac{\theta_0}{2}$$

である。つまりつりあいの位置にあるときの速度が振幅で表せたわけである。