6.2 Fourier 積分定理

数直線上定義された関数 $f$ , $x\in \R$ が、次のいずれかの条件を満足す るとする:

• $f$ は $x$ の近傍で有界変動。
• $f$ は有限個の最大最小しか持たない。

• $$\int_\R$$

このとき、Fourier の単積分定理 (single integral theorem of Fourier)

$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} =\lim_{A\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_\R f(t)\frac{\sin A(t-x)}{t-x}\Dt$$ (6.5)

が成り立つ。

また $x$ で $f$ が有界変動である時、 Fourier の 2 重積分定理 (double integral theorem of Fourier)

$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} =\frac{1}{\pi}\lim_{T\to\infty}\int_0^T\Dt\int_\R f(u)\cos t(u-x)\Du$$ (6.6)

は、次の (i), (ii), (iii) のいずれかがあれば成立する。

(i)

$f\in L^1(\R)$ .

(ii)

$f(x)/x$ が $\vert x\vert>X(>0)$ で $L^1$ に属し、 $x\to\pm\infty$ のとき $f(x)$ は単調に 0 に収束する。

(iii)

$f(x)=g(x)\sin(p x+q)$ という形をとり、$g$ が単調に 0 に収束する。

$$\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\lambda\int_\R \sin t(u-x)f(u)\Du$$

を (6.6) の右辺の積分の共役 Fourier 積分 と呼ぶ。これは形式的に

$$\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\infty \frac{1-\cos\lambda t}{t}(f(x+t)-f(x-t))\Dt$$ (6.7)

となり、これに関連して

$$g(x)=\frac{1}{\pi}\lim_{A\to\infty, \eps\to 0}\int_\eps^A \frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}\Dt$$ (6.8)

が考えられる。これは $f\in L^1(0,\infty)$ ならば、 ほとんどすべての $x$ に対して存在し、 $g$ は $f$ の共役関数 (conjugate function) あるいは Hilbert 変換 (Hilbert transform) と呼ばれる。 $f\in L^p$ ($p>1$ ) ならば、 $g\in L^p$ で、

$$\Vert g\Vert _{L^p}\le C_p \Vert f\Vert _{L^p}.$$ (6.9)