数直線上定義された関数
,
が、次のいずれかの条件を満足す
るとする:
は
の近傍で有界変動。
は有限個の最大最小しか持たない。
このとき、Fourier の単積分定理 (single integral theorem of
Fourier)
(6.5) |
![$\displaystyle \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} =\lim_{A\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_\R f(t)\frac{\sin A(t-x)}{t-x}\Dt$](img317.gif) |
が成り立つ。
また
で
が有界変動である時、
Fourier の 2 重積分定理 (double integral theorem of Fourier)
(6.6) |
![$\displaystyle \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} =\frac{1}{\pi}\lim_{T\to\infty}\int_0^T\Dt\int_\R f(u)\cos t(u-x)\Du$](img318.gif) |
は、次の (i), (ii), (iii) のいずれかがあれば成立する。
- (i)
-
.
- (ii)
が
で
に属し、
のとき
は単調に 0
に収束する。
- (iii)
-
という形をとり、
が単調に 0
に収束する。
を (6.6) の右辺の積分の共役 Fourier 積分
と呼ぶ。これは形式的に
(6.7) |
![$\displaystyle \lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\infty \frac{1-\cos\lambda t}{t}(f(x+t)-f(x-t))\Dt$](img328.gif) |
となり、これに関連して
(6.8) |
![$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\pi}\lim_{A\to\infty, \eps\to 0}\int_\eps^A \frac{f(x+t)-f(x-t)}{t}\Dt$](img329.gif) |
が考えられる。これは
ならば、
ほとんどすべての
に対して存在し、
は
の共役関数 (conjugate
function) あるいは Hilbert 変換 (Hilbert
transform) と呼ばれる。
(
) ならば、
で、
(6.9) |
![$\displaystyle \Vert g\Vert _{L^p}\le C_p \Vert f\Vert _{L^p}.$](img334.gif) |
桂田 祐史
2017-04-30