5.2 解析学のために

まずいくつか例をあげよう。

(i).: $\Q$ は $\R$ で稠密。
(ii).: $C_0(\Omega)$ は $L^p(\Omega)$ ( $1\le p<\infty$ ) で稠密 (Lebesgue 積分の議論)。
(iii).: $C^\infty_0(\Omega)$ は $L^p(\Omega)$ ( $1\le p<\infty$ ) で稠密 (軟化作用素の応用)。
(iv).: $C^\infty_0(\Omega)$ は $W^{m,p}_0(\Omega)$ ( $1\le p<\infty$ ) で稠密 ( $W^{m,p}_0$ の定義)。

$\begin{jtheorem} $f\in L^2(\Omega)$\ が \begin{displaymath} (f,\varphi)=0 \qu... ...\infty_0(\Omega)$)} \end{displaymath}を満たすならば $f=0$. \end{jtheorem}$

これは変分法の基本補題の特別な場合であるが、

$\begin{jtheorem} $X$\ は Hilbert 空間で、 $A$\ が $X$\ で稠密な部分�... ...x{($\varphi\in A$)} \end{displaymath}を満たすならば $f=0$. \end{jtheorem}$

$\begin{jtheorem}[等式延長の原理] $X$\ を位相空間、 $Y$\ を Hausdo... ...in A$)} \end{displaymath}が成り立つならば、実は $f=g$. \end{jtheorem}$

$\begin{jtheorem}[一様連続関数の拡張可能性] $X$\ を位相空間、 (工事中) \end{jtheorem}$

桂田祐史
2017-04-30