5.2 解析学のために

まずいくつか例をあげよう。

(i).
$ \Q$ $ \R$ で稠密。
(ii).
$ C_0(\Omega)$ $ L^p(\Omega)$ ( $ 1\le p<\infty$ ) で 稠密 (Lebesgue 積分の議論)。
(iii).
$ C^\infty_0(\Omega)$ $ L^p(\Omega)$ ( $ 1\le p<\infty$ ) で稠密 (軟化作用素の応用)。
(iv).
$ C^\infty_0(\Omega)$ $ W^{m,p}_0(\Omega)$ ( $ 1\le p<\infty$ ) で 稠密 ($ W^{m,p}_0$ の定義)。


\begin{jtheorem}
$f\in L^2(\Omega)$\ が
\begin{displaymath}
(f,\varphi)=0 \qu...
...\infty_0(\Omega)$)}
\end{displaymath}を満たすならば $f=0$.
\end{jtheorem}

これは変分法の基本補題の特別な場合であるが、

\begin{jtheorem}
$X$\ は Hilbert 空間で、 $A$\ が $X$\ で稠密な部分...
...x{($\varphi\in A$)}
\end{displaymath}を満たすならば $f=0$.
\end{jtheorem}


\begin{jtheorem}[等式延長の原理]
$X$\ を位相空間、 $Y$\ を Hausdo...
...in A$)}
\end{displaymath}が成り立つならば、実は $f=g$.
\end{jtheorem}


\begin{jtheorem}[一様連続関数の拡張可能性]
$X$\ を位相空間、 (工事中)
\end{jtheorem}

桂田 祐史
2017-04-30