5.1 基礎

$\begin{jdefinition}[稠密性] 位相空間 $X$\ の部分集合 $A$\ が $X$\ �... ...$\ は $A$\ の $X$\ における閉包 (closure)を表す。 \end{jdefinition}$

ところで、閉包とは何だっけ？念のために復習しておこう^5.1。

$\overline A$ の要素はの接触点と呼ばれる。つまり

$\displaystyle \overline A= \hbox{$A$\ の接触点の全体}.$

接触点の特徴づけを書いておこう。

$\begin{jdefinition}[接触点の定義] $X$\ を位相空間、 $A$\ を $X$\ �... ...e \emptyset \end{displaymath}が成り立つことである。 \end{jdefinition}$

この定義から

$\displaystyle \overline A=\{x\in X; \hbox{$x$\ の任意の近傍 $U$\ に対して} U\cap A\ne \emptyset\}.$

$\begin{jcorollary}[距離空間における接触点の特徴づけ] $(X,d)$\ �... ...�� $x$\ の $\eps$\ 近傍: $B(x;\eps)=\{y\in X; d(x,y<\eps\}$. \end{jcorollary}$

従って、距離空間においては

$\displaystyle \overline A=\{x\in X; \forall \eps>0 \quad B(x;\eps)\cap A\ne \emptyset\}.$

$\begin{jcorollary}[距離空間における接触点の点列による特徴づ�... ... \hbox{in} \quad X \end{displaymath}が必要十分である。 \end{jcorollary}$

従って、距離空間においては

$\displaystyle \overline A=\{x\in X; \exists \{x_n\}_{n\in\N}\subset A$ s.t. $\displaystyle \quad \lim_{n\to\infty} x_n = x\}.$

桂田祐史
2017-04-30