3.3.2 Brezis [10] から

$\begin{jtheorem}[Brezis \cite{Brezis} から] $X$, $Y$\ を Banach 空間、 $A... ...={}^\perp N(A^\ast)$ \item $R(A^\ast)=N(A)^\perp$ \end{enumerate}\end{jtheorem}$

$\begin{jtheorem}[Brezis \cite{Brezis} の定理II.19] $X$, $Y$\ を Banach 空�... ...st)=\{0\}$\ かつ $R(A^\ast)$\ は閉である。 \end{enumerate}\end{jtheorem}$

証明

(i) $\Then$ (ii) は省略。 (ii) $\Then$ (iii) は簡単なので省略。 (iii) $\Then$ (i) は $R(A)={}^\perp N(A^\ast)=Y$ を用いる。 $\qedsymbol$

応用上はが全射であることを示すために (ii) $\Then$ (i) を用いる。 $f\in Y'$ として、 $A^\ast v=f$ を考え、に依らない定数 $\C$ で

$\displaystyle \Vert v\Vert\le C \Vert f\Vert$

を満たすものの存在を示せば良いわけである (アプリオリ評価の方法)。

$\begin{jtheorem}[Brezis \cite{Brezis} の定理II.20] $X$, $Y$\ を Banach 空�... ...m $N(A)=\{0\}$\ かつ $R(A)$\ は閉である。 \end{enumerate}\end{jtheorem}$

以上から、

が全射 $\Then$ $A^\ast$ が単射, $A^\ast$ が全射 $\Then$

が単射.

ところで、

......

桂田祐史
2017-04-30