2.1 この章のねらい

高校で平面や空間のベクトルの内積について学んだ。 例えば、空間のベクトル $x$ , $y$ の内積は、成分を用いれば

$$(x,y)=x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3$$

と表わされ、図形的には

$$(x,y)=$$$$\mbox{($x$ の長さ)}$$$$\times$$$$\mbox{($y$ の長さ)}$$$$\times \cos\theta$$   $$\mbox{($\theta$ は $x$ と $y$ のなす角)}$$

という意味を持つのであった。

この内積を一般の次元の数ベクトル空間に拡張して、 その性質を調べよう。

記号

$\R$ を実数体とする。

$\R^n$ を成分が実数である $n$ 次元のベクトルの全体とする。

$\R^{n\times n}$ を $n$ 次実正方行列全体とする。

$x$ をベクトルまたは行列とするとき、 $x$ の転置を $x^T$ または ${}^t x$ と書く^2.1。

$v_1$ , $\cdots$ , $v_m\in \R^n$ に対して、

$${\rm Span}(v_1,\cdots,v_m):= \left\{ \sum_{j=1}^m \lambda_j v_j; (\lambda_1,\cdots,\lambda_m)\in\R^m \right\}$$