C.3 点と平面の距離

点 $x_0$ と超平面 $(x-x_\ast,a)=0$ との距離 $\ell$ は、 $x_0-x_\ast$ の $a$ への正射影

$$\frac{(x_0-x_\ast,a)}{\Vert a\Vert^2}a$$

の長さであるから、

$$\ell=\frac{\vert(x_0-x_\ast,a)\vert}{\Vert a\Vert}.$$

あるいは超平面を $(x,a)=c$ と表わせば

$$\ell=\frac{\vert(x_0,a)-c\vert}{\Vert a\Vert}.$$

$\R^2$ では、点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by=c$ との距離は

$$\ell=\frac{\vert ax_0+by_0-c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

$\R^3$ では、点 $(x_0,y_0,z_0)$ と直線 $ax+by+cz=d$ との距離は

$$\ell=\frac{\vert ax_0+by_0+cz_0-d\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$