C.2 直交射影のちょっと変わった定義


\begin{jdefinition}[直交射影, 正射影]
$X$ を内積空間、$V$ をそ...
...V$ の上への
直交射影あるいは正射影と呼ぶ。
\end{jdefinition}
結局 $ y$ $ x$ $ V$ の上への直交射影であるという条件は、

$\displaystyle y\in V, x-y\in V^\perp
$

となる (本文と同じ)。

(C.1) を満たす $ y$ , $ z$ は もし存在するならば一意に決まる。実際

$\displaystyle x=y+z=y'+z',\quad y,y'\in V,\quad z,z'\in V^\perp
$

とすると、

$\displaystyle y-y'=z'-z
$

で左辺は $ V$ に、右辺は $ V^\perp$ に属しているから、 自分自身に直交するので、0 でしかありえない:

$\displaystyle y-y'=z'-z=0.
$

ゆえに

$\displaystyle y=y',\quad z=z'.
$

桂田 祐史
2017-04-30