4.5 Bessel の不等式

$x\in X$ とする。任意の $n\in\N$ に対して、

$$\sum_{j=1}^n \langle{x},{u_j}\rangle u_j$$

は $x$ の ${\rm Span}(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ への直交射影である。 ゆえにピタゴラスの定理から、

$$\left\Vert \sum_{j=1}^n \langle{x},{u_j}\rangle u_j\right\Vert^2 ... ...Vert x-\sum_{j=1}^n \langle{x},{u_j}\rangle u_j\right\Vert^2 = \Vert x\Vert^2.$$

ゆえに

$$\left\Vert \sum_{j=1}^n \langle{x},{u_j}\rangle u_j\right\Vert^2 \le \Vert x\Vert^2.$$

左辺はピタゴラスの定理より

$$\left\Vert \sum_{j=1}^n \langle{x},{u_j}\rangle u_j\right\Vert^2 ... ...e{x},{u_j}\rangle u_j\Vert^2 =\sum_{j=1}^n\vert\langle{x},{u_j}\rangle \vert^2$$

であるから、

$$\sum_{j=1}^n\vert\langle{x},{u_j}\rangle \vert^2\le \Vert x\Vert^2.$$

これが任意の $n$ について成り立つことから、

$$\sum_{j=1}^\infty\vert\langle{x},{u_j}\rangle \vert^2\le \Vert x\Vert^2. \qed$$

内積空間 $X$ において、正規直交系 $\{u_j\}$ と $x\in X$ が与えられたと き、級数

$$\sum_{j}\langle{x},{u_j}\rangle u_j$$

は収束するだろうか？ Cauchy 列になることは明らかなので、$X$ が完備ならば収束する。