Schwarz の不等式の別証明

$y=0$ のときは明らかであるから、$y\ne 0$ とする。 $x$ の $V={\rm Span}(v)$ への正射影は $w=\lambda y$ , $\lambda=\dfrac{(x,y)}{(y,y)}$ である。 $3$ 点 0 , $w$ , $x$ は直角三角形をなすので、

$$(x,x)=\Vert x^2\Vert=\Vert x-w\Vert^2+\Vert w\Vert^2 \ge \Vert w\... ...t^2 =\left(\frac{(x,y)}{(y,y)}\right)^2 \Vert y\Vert^2 =\frac{(x,y)^2}{(y,y)}.$$

(つまり直角三角形で斜辺よりも垂辺の方が短いということである。) これから

$$(x,x)(y,y)\ge (x,y)^2.$$

また等号は $(x-w,x-w)=0$ つまり $w=x$ のときである。このとき $x$ と $y$ は $1$ 次従属になる。$\qedsymbol$