解答

$p$ は直線 ${\rm Span\;}(v)$ 上の点であるから、

$$p=\lambda v,\quad \lambda\in\R$$ (2.2)

と書ける。直交性の条件は $(p-u)\perp v$ すなわち

$$(p-u,v)=0.$$

この式に (2.2) を代入すると

$$(\lambda v-u,v)=0.$$

$v\ne 0$ であるから、これは

$$\lambda=\frac{(u,v)}{(v,v)}=\frac{(u,v)}{\Vert v\Vert^2}$$

と解くことができる。ゆえに

$$p=\lambda v=\frac{(u,v)}{(v,v)}v.$$

この $p$ が確かに垂線の足であること、つまり

$$p\in {\rm Span}(v),\quad p-u\perp v$$

を満たすことは明らかである。 $\qedsymbol$