2.4 直交性

以下、定義から簡単にチェックできる性質をあげる。

(1)

内積の対称性 $(x,y)=(y,x)$ から明らか。

(2)

一般に

$$\Vert x+y\Vert^2 = (x+y,x+y)=(x,x+y)+(y,x+y)$$

$$= (x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)$$

$$= \Vert x\Vert^2+2(x,y)+\Vert y\Vert^2$$

が成り立つので、

$$(x,y)=0\quad\Iff\quad \Vert x+y\Vert^2=\Vert x\Vert^2+\Vert y\Vert^2.$$

(3)

単なる計算である。

$$\Vert x+y\Vert^2+\Vert x-y\Vert^2 = (x+y,x+y)+(x-y,x-y)$$

$$= \left[(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)\right] +\left[(x,x)-(x,y)-(y,x)+(y,y)\right]$$

$$= 2\left[(x,x)+(y,y)\right] =2(\Vert x\Vert^2+\Vert y\Vert^2).$$

(4)

これも単なる計算である。

$$\frac{1}{4}\left(\Vert x+y\Vert^2-\Vert x-y\Vert^2\right) = \frac{1}{4} \left\{ \left[(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)\right] -\left[(x,x)-(x,y)-(y,x)+(y,y)\right] \right\}$$

$$= \frac{1}{2}\left[(x,y)+(y,x)\right] =(x,y).$$

(5)

$\forall x\in\R^n$ に対して $(x,0)=0$ , すなわち $x\perp 0$ であるから $x\in\{0\}^\perp$ . ゆえに $\R^n\subset\{0\}^\perp$ . 逆向きの包含関係は 明らかだから $\{0\}^\perp=\R^n$ . 一方、 $x\in(\R^n)^\perp$ とすると、$x$ は自分自身とも直交する: $(x,x)=0$ . ゆえに $x=0$ . よって $(\R^n)^\perp=\{0\}$ .

(6)

$x,y\in M^\perp$ とすると、 $\forall z\in M$ に対して、

$$(x,z)=(y,z)=0.$$

このとき $\forall \lambda,\mu\in\R$ に対して、

$$(\lambda x+\mu y,z)=\lambda(x,z)+\mu(y,z)=\lambda\cdot 0+\mu\cdot 0=0.$$

すなわち $\lambda x+\mu y\in M^\perp$ . ゆえに $M^\perp$ は線型部分空間である。

(7)

明らか。

(8)

$x\in M$ とすると、 $\forall y\in M^\perp$ に対して $(x,y)=0$ . これから $x\in (M^\perp)^\perp$ . ゆえに $M\subset (M^\perp)^\perp$ .

(9)

$x\in M\cap M^\perp$ とすると、$x$ は自分自身とも直交する: $(x,x)=0$ . ゆえに $x=0$ . よって $M\cap M^\perp\subset\{0\}$ . 逆向きの包含関係は明らかだから $M\cap M^\perp=\{0\}$ . $\qedsymbol$

$M\subset \R^n$ の直交については、 $M$ が $\R^n$ の線型部分空間 $V$ であるときが特に重要である。 このときは $V^\perp$ を $V$ の直交補空間と呼ぶことが多い。 これは後で証明するように $V\oplus V^\perp=\R^n$ が成り立つからであろう。

例えば $\R^3$ で考えるとき、 $V$ が直線 ($1$ 次元部分空間) のとき $V^\perp$ は平面で、 $V$ が平面 ($2$ 次元部分空間) のとき $V^\perp$ は直線になる。 $V$ が大きいほど $V^\perp$ が小さいことは既に証明したので、 次の命題が成り立つことは容易に想像できるであろう。

証明には少し準備がいるので後に回す。

この命題から、例えば次の重要な性質が得られる。

すでに見たように、 一般に $V\subset (V^\perp)^\perp$ であるが、 この場合は $V$ と $V^\perp$ はともに線型部分空間であり、次元を調べると

$$\dim \left((V^\perp)^\perp\right)=n-\dim(V^\perp)=n-(n-\dim V)=\dim V$$

と一致することが分かるので、実は等号が成り立つ。 $\qedsymbol$