2 Hölder の不等式

測度空間 $(X,{\cal B},\mu)$ があるとき、 $f\colon X\to\C$, $p\in [1,\infty]$ に対して、

$$\Vert f\Vert _{L^p}\DefEq \left\{ \begin{array}{ll} \dsp... ...mbox{a.e. on $X$}\} &\mbox{($p=\infty$)} \end{array} \right.$$

とおく。

与えられた $p$ に対して

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$

を満たす $q$ を $p$ の共役指数と呼ぶ。ただし $1/\infty=0$ とみなし、 $1$ の共役指数は $\infty$, $\infty$ の共役指数は $1$ と考える。

Young の不等式から

$$\int_{X}\vert f(x)g(x)\vert\D\mu(x) \le \frac{1}{p}\int_{... ...\vert^p\D\mu(x) +\frac{1}{q}\int_{X}\vert g(x)\vert^q\D\mu(x)$$

という評価が得られるので、 $L^p$ の元と $L^q$ の元の積は可積分になることが分かる。

まず $p=1$ または $p=\infty$ の場合は明らかであることに注意する。 以下 $1<p<\infty$ とする。 また $\Vert f\Vert _{L^p}=0$ または $\Vert g\Vert _{L^q}=0$ の場合も明らかであるので、 以下 $\Vert f\Vert _{L^p}\ne 0$ かつ $\Vert g\Vert _{L^q}\ne0$ とする。 Young の不等式から

$$\frac{\vert f(x)\vert}{{\Vert f\Vert _{L^p}}^{1/p}} \frac{... ...p}} +\frac{1}{q}\frac{\vert g(x)\vert^q}{\Vert g\Vert _{L^q}}$$

となるので、

$$\frac{\dsp\int_{X}\vert f(x)g(x)\vert\D\mu(x)}{{\Vert f\Ver... ...(x)}{{\Vert g\Vert _{L^q}}^{1/q}} =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$$

ゆえに

$$\int_{X}\vert f(x)g(x)\vert\D\mu(x)\le {\Vert f\Vert _{L^p}}^{1/p}{\Vert g\Vert _{L^q}}^{1/q}.\qed$$