3 Minkowski の不等式

$f$, $g$$L^p(X)$ に属するならば $f+g$ もそうなることは、

\begin{displaymath}
\vert f+g\vert^p\le (\vert f\vert+\vert g\vert)^p\le 2^{p-1}(\vert f\vert^p+\vert g\vert^p)
\end{displaymath}

という簡単な評価から分かるが、$L^p$ ノルムが凸不等式

\begin{displaymath}
\Vert f+g\Vert _{L^p}\le \Vert f\Vert _{L^p}+\Vert g\Vert _{L^p}
\end{displaymath}

を満たすことの証明には、より精密な議論、すなわち Hölder の不等式を使う。

\begin{jtheorem}[Minkowski の不等式]
$1\le p\le \infty$, $f$, $g\in L^p(X)$...
...L^p}\le \Vert f\Vert _{L^p}+\Vert g\Vert _{L^p}.
\end{displaymath}\end{jtheorem}
$p=1$ または $p=\infty$ のときは明らか。以下 $1<p<\infty$ とする。 $p$ の共役指数を $q$ とするとき、$(p-1)q=p$ となることに注意すると 1

\begin{eqnarray*}
\int_{X}\vert f(x)+g(x)\vert^p\D\mu(x)
&=& \int_{X}\vert f(x...
...ht)^{1/q}
\left(\int_{X}\vert g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1/p}.
\end{eqnarray*}

割り算して

\begin{displaymath}
\left(\int_{X}\vert f(x)+g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1-1/q}...
...^{1/p}
+\left(\int_{X}\vert g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1/p}.
\end{displaymath}

$1-1/q=1/p$ に注意すれば、

\begin{displaymath}
\left(\int_{X}\vert f(x)+g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1/p}
...
...}
+\left(\int_{X}\vert g(x)\vert^p\D\mu(x)\right)^{1/p}. \qed
\end{displaymath}

桂田 祐史
2017-04-30