1.6 Schwarz の不等式

「内積空間ノート」に詳しく書くので、 この小節の命題の証明は省略する。

$\C^n$ における Schwarz の不等式は、以下のようになる。

$$\left\vert\sum_{j=1}^n a_j b_j\right\vert^2\le \sum_{j=1}^n \vert a_j\vert^2 \sum_{j=1}^n \vert b_j\vert^2$$

等号は $a=(a_j)$ と $\overline b=\left(\overline{b_j}\right)$ が 1次従属であるとき。

この不等式の無限級数バージョンもある。

$$\left\vert\sum_{n=1}^\infty a_n b_n\right\vert^2\le \sum_{n=1}^\infty \vert a_n\vert^2 \sum_{n=1}^\infty \vert b_n\vert^2$$

等号は $a=(a_n)$ と $\overline b=\left(\overline{b_n}\right)$ が 1次従属であるとき。 これはいわゆる $\ell^2$ における Schwarz の不等式である。