3.1 Householder 法

$u$ を $\R^n$ の単位ベクトルとする。$u$ に直交する超平面

$$W_u\equiv\left\{x\in\R^n; (x,u)=0\right\}$$

に関する対称移動を表す変換を $U$ とすると、

$$U=I - 2 uu^T$$

である。( $\overrightarrow{\mathrm{O P}}=x$ なる点 $P$ から $W_u$ に 下ろした垂線の足を $\mathrm{Q}$ とすると、 $\overrightarrow{\mathrm{Q P}}=(x,u)u$ . それゆえ、 $U x=x - 2\vec{Q P}=x-2(x,u)u=(I-2uu^T)x$ . ゆえに $U=I-2uu^T$ .)

証明.

(i)

$UU^T=I$ を計算で確かめてもよいし、 $U$ が長さを変えないことから明らかである。

(ii)

これは $U=I-2uu^T$ であることから分かる。 $\qedsymbol$

$\qedsymbol$