2.3 巾乗法(power method)

ここでも問題は対称であると仮定する。

与えられた行列の絶対値最大の固有値を求めるための、累乗法あるいは巾乗 法²を説明する。

行列 $A$ の固有値 $\{\lambda_i; i=1,2,\cdots,n\}$ は絶対値の順に番号 づけられているとする:

$$\vert\lambda_1\vert\ge\vert\lambda_2\vert\ge\cdots\vert\lambda_n\vert.$$

また、 $\{u_i; i=1,2,\cdots,n\}$ は $\{\lambda_i\}$ に対応する $A$ の固 有ベクトルからなる正規直交基底とする。

ここで話を簡単にするために次の仮定をおく。

仮定:      $\vert\lambda_1\vert>\vert\lambda_2\vert$ .

この時、適当な $x_0$ ( $x_0\not\in \textrm{Span}\{u_2,u_3,\cdots,u_n\}$ ) を選んで

$$\left\{ \begin{array}{lcl} y_{k+1} &:=& A x_k \\ x_{k+1} &:=& y_{k+1}/\Vert y_{k+1}\Vert \end{array}\right.$$

によりベクトル列 $\{x_k;k=0,1,\cdots\}$ を定めると、

$$\lim_{k\to\infty}x_k=\pm u_1$$

となる。実際には十分大きな番号 $k$ を取れば、 $x_k=\pm u_1$ とみなして よい。