6.5.0.3 一発でうまくやることはあきらめて

ここでは $A$ の最小多項式の問題には触れないことにする。 最初に選んだ $x\ne 0$ に対して ${\cal K}_n(A,x)\ne \R^n$ と仮定する。 $m:=\dim{\cal K}_n(A,x)$ とおくと、 ${\cal K}_m(A,x)={\cal K}_n(A,x)$ である。 ${\cal K}_m(A,x)$ のことを単に ${\cal K}_m$ と書くことにする。

明らかに ${\cal K}_m$ は $A$ 不変、すなわち

$$A{\cal K}_m\subset {\cal K}_m$$

をみたすが、 ${\cal K}_m$ の直交補空間

$${{\cal K}_m}^\perp:=\{y\in\R^n; \forall z\in{\cal K}_m z^T y=0\}$$

も $A$ 不変である。実際 $y\in{\cal K}_m^\perp$ とするとき、 任意の $z\in {\cal K}_m$ に対して、

$$(A y,z)=(y,A z)=0$$   $$\mbox{(${\cal K}_m$ の $A$ 不変性より $A z\in{\cal K}_m$ なので)}$$

がなりたつので $A y\in{\cal K}_m^\perp$ となり、 ${\cal K}_m^\perp$ が $A$ 不変であることが分かる。

老婆心: $y\in{\cal K}_n(A,x)^\perp$ とするとき、 任意の $j\in\N$ に対して $A^j y\in {\cal K}_n(A,x)^\perp$ であるから、 ${\cal K}_n(A,y)\subset{\cal K}_n(A,x)^\perp$ .

そこで最初に選んだ $x_1\ne 0$ に対して、 $m:=\dim{\cal K}_n(A,x_1)<n$ であった場合は、 まず ${\cal K}_n(A,x_1)$ の正規直交基底を取り、 その後で $x_2\in{\cal K}_n(A,x_1)^\perp$ , $x_2\ne 0$ から始めて、 ${\cal K}_n(A,x_2)\subset {\cal K}_n(A,x_1)^\perp$ の正規直交基底を取り、 以下この操作を続けていけば、最後には

$$\R^n={\cal K}_n(A,x_1)\oplus{\cal K}_n(A,x_2)\oplus\cdots\oplus {\cal K}_n(A,x_r)$$

とできる。 それと並行して、 ${\cal K}_n(A,x_j)$ の正規直交基底 $\Vector{u}^j_{k}$ ( $k=1,2,\dots,m_j$ ) が得られる。 この正規直交基底を

$$\Vector{u}^1_1,\Vector{u}^1_2,\cdots,\Vector{u}^1_{m_1}, \Vector... ...{u}^2_{m_2}, \cdots, \Vector{u}^r_1,\Vector{u}^r_2,\cdots,\Vector{u}^r_{m_r}$$

と並べたものを $\{\Vector{u}_j\}_{j=1}^n$ として、 $U:=(\Vector{u}_1 \Vector{u}_2 \cdots \Vector{u}_n)$ とおくと、

$$U^T A U =B =\left( \begin{array}{cccc} B_1 & \\ & B_2 \\ ... ...\ddots & \ddots \\ & & \beta^j_{m_j-1}& \alpha^j_{m_j} \end{array} \right).$$

こうして得られた $B$ は確かに三重対角行列である。