A..2.3 解の基本系

$\nu\in\C\setminus\Z$ であるとき、 $J_{\nu}(x)$ , $J_{-\nu}(x)$ は1次独立である (したがって (3) の解の基本系になる)。 これは両者の級数表示を見て、 $x\to 0$ のときの増大度を考えても容易に証明できるが、 次の補題からも分かる。

証明. (省略) $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

ロンスキアンの等式から想像できることだが、 $\nu=n\in\Z$ のとき $J_\nu(x)$ , $J_{-\nu}(x)$ は1次従属になる。 これは容易に確かめられる関係

$$J_{-n}(z)=(-1)^n J_n(z)$$

から明らかである。

さて、 いよいよ第二種ベッセル関数 (ノイマン関数ともいう) $Y_\nu (x)$ を導入しよう。

まず $\nu\in\C\setminus\Z$ の場合に

$$Y_\nu(x):= \frac{\cos\nu\pi J_\nu(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin\nu\pi}$$

とおく。 これは $J_\nu(x)$ , $J_{-\nu}(x)$ の線型結合であるから、 (3) の解である。 また補題 A.2 より容易に

$$W(J_{\nu}(x),Y_{\nu}(x))=\frac{2}{\pi x} \mbox{($\nu\in\C\setminus\Z$)}$$ (5)

が分かるので、$J_\nu(x)$ , $Y_\nu (x)$ は (3) の解の基本系である。

さらに $n\in\Z$ に対して広義一様収束極限

$$\lim_{\nu\to n}Y_\nu(x)$$

が存在する。そこで

$$Y_n(x):=\lim_{\nu\to n}Y_\nu(x)$$

とおくと、 これも (3) の解であるが、 (5) より⁸

$$W(J_{n}(x),Y_{n}(x)) =\lim_{\nu\to n} W(J_{\nu}(x),Y_{\nu}(x)) =\frac{2}{\pi x}\ne 0$$

であるから、 $J_n(x)$ , $Y_n(x)$ は ($\nu=n$ のときの) (3) の解の基本系である。

以上をまとめると次の定理が得られる。