5.3 誤差の特性関数の例 (1) 有限区間の場合の古典的公式

$[a,b]=[-1,1]$, $p(x)=1$ の場合の $21$ 点複合シンプソン公式 $S_{20}$

$$a=-1,\quad b=1,\quad m=10,\quad n=2m+1,\quad h=\frac{b-a}{2m},$$

$$S_{2m} =\frac{h}{3} \left( f(a)+2\sum_{j=1}^{m-1}f(a+2jh) +4\sum_{j=1}^{m}f(a+(2j-1)h) +f(b) \right).$$

これは

$$x_k=a+kh$$   ( $k=0,1,\dots,2m$)$$,$$

$$w_k= \left\{ \begin{array}[tb]{ll} h/3 & \text{($k=0,2m$)} ... ...ots,m-1$)} \\ 4h/3 & \text{($k=2j-1$, $j=1,2,\dots,m$)} \end{array} \right.$$

とおくと、

$$\Psi_{2m+1}(z)=\sum_{k=0}^{2m}\frac{w_k}{z-x_k}$$

と書ける。

$$\Psi(z)=\Log\frac{z+1}{z-1},\quad \Phi_{2m+1}(z)=\Psi(z)-\Psi_{2m+1}(z)$$

として、 $\left\vert\Phi_{2m+1}(z)\right\vert$ ( $-4\le\MyRe z\le 4$, $-4\le\MyIm z\le 4$) の等高線を描いてみる。

(これは森 [15] にある図と見比べるためである。)

図 5: $21$点複合シンプソン公式の誤差の特性関数 (絶対値の常用対数)

        

図 6: 森 [16] から $\left \vert\Phi _n(z)\right \vert$ for Simpson's formula ($h=0.1$)

プログラムは、 付録 を見よ。

$z$ 平面において、積分区間 $[a,b]$ から遠ざかると、 $\left\vert\Phi_{2m+1}(z)\right\vert$ が急速に減少することが分かる。 このような挙動が多くの数値積分公式に共通して見られることは、 で述べたことから理解できる。

この図は実際的な誤差評価に使うことが出来る。

もう1つ、有限区間上の数値積分公式の誤差の特性関数の例をあげておく。 この講義では解説していないが、 有名な Gauss-Legendre 公式の場合を紹介する。

図 7: $(-1,1)$ における $8$次 Gauss-Legendre 公式の誤差の特性関数 (絶対値の常用対数)

$8$ 次の Gauss-Legendre 公式は、 $n=8$ 次の直交多項式の$8$ 個の零点を標本点に使い、 $2n-1=15$ 次までの多項式について正確な積分を計算できる。 つまり15位の公式である。 実際 $\left\vert\Psi_{8}(z)\right\vert=10^{-16}$ の曲線が見え、 $21$ 点 Simpson 公式よりも格段に誤差の特性関数の値が小さい ($8$桁下、つまり1億分の1) ことが分かる。