4.1 考え方

$$I=\int_a^b f(x)\;\Dx$$

を計算したい。

$$\varphi\colon\mathbb{R}\to(a,b),\quad \lim_{t\to-\infty}\varphi(t)=a,\quad \lim_{t\to\infty}\varphi(t)=b$$ (23)

を満たす $\varphi$ を取って、 $x=\varphi(t)$ と変数変換すると

$$I=\int_{-\infty}^\infty f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\;\D t.$$ (24)

$h>0$, $N\in\mathbb{N}$ をとって、 (25) に対する台形公式

$$I_{h}=h\sum_{n=-\infty}^\infty f\left(\varphi(nh\right)\varphi'(nh),$$ (25)

$$I_{h,N}=h\sum_{n=-N}^N f\left(\varphi(nh\right)\varphi'(nh)$$ (26)

を考える。

どのような $\varphi$ を選べば良いか。高橋・森は

$$f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\sim C\exp\left(-C' e^{\vert t\vert}\right)$$ (27)

のようになる $\varphi$ が良いと論じ、 $\varphi$ の具体例を与えた (高橋・森 [4], [5], [6], [7])。 また、(38) を満たす変数変換を 二重指数関数型変数変換と呼んだ。