5.1 誤差の特性関数

(準備中 -- 「数値積分ノート」[1] の付録 G にある。)

$-\infty\le a<b\le +\infty$, $f$ は $\mathbb{C}$ における $\overline{(a,b)}$ の開近傍 $D$ で定義された 正則関数とするとき

$$I=\int_a^b f(x)\;\Dx,$$

あるいは可積分な重み関数 $p\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ に対して

$$I=\int_a^b f(x)p(x)\;\Dx$$

を求めることを考える。

多くの数値積分公式は、 $x_1,\cdots,x_n\in\overline{(a,b)}$ と $w_1,\cdots,w_n$ を用いて

$$I_n=\sum_{k=1}^n w_k f(x_k)$$ (32)

と表される。誤差

$$\Delta I_n:=I-I_n$$

の評価をしたい。

簡単のため、以下では $a$, $b$ が有限と仮定する。

$\Gamma$ は $D$ 内の区分的に$C^1$級の閉曲線で、 $[a,b]$ を正の向きに一周しているとする。

$x\in(a,b)$ とするとき、Cauchy の積分公式から

$$f(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f(z)}{z-x}\;\D z$$ (33)

が成り立つ。 ゆえに

$$I=\int_a^b\left(\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f(z)}{z-x}\;\Dz\right) p(x)\;\Dx.$$

積分順序の交換が容易に出来て、

$$I=\frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma\left(\int_a^b\frac{p(x)}{z-x}\Dx\right)f(z)\;\Dz.$$

$\varPsi$ を

$$\varPsi(z):=\int_a^b\frac{p(x)}{z-x}\;\Dx$$ (34)

で定めると、

$$I=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma \varPsi(z)f(z)\;\Dz$$ (35)

が成り立つ。

$\varPsi$ は $p$ の Hilbert 変換と呼ばれ、 $\mathbb{C}\setminus[a,b]$ で正則である (証明は容易)。 $p(x)\equiv 1$の場合は

$$\varPsi(z)=\Log\frac{z-a}{z-b}$$

である。ここで $\Log$ は主値を表す。

一方、(34) を (33) に代入すると

$$I_n=\sum_{k=1}^n w_k\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f(z)}{z-x_k}\D z.$$

そこで

$$\varPsi_n(z):=\sum_{k=1}^n\frac{w_k}{z-x_k}$$ (36)

とおくと

$$I_n=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\varPsi_n(z)f(z)\;\D z.$$ (37)

ゆえに

$$I-I_n=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\varPhi_n(z)f(z)\;\Dz.$$

ここで $\varPhi_n$ は

$$\varPhi_n(z):=\varPsi(z)-\varPsi_n(z) z\in\mathbb{C}\setminus[a,b]$$ (38)

で定義される関数で、 (数値積分公式の)誤差の特性関数と呼ばれる。

大まかに言うと、 $\left\vert\varPhi_n\right\vert$ が小さいならば、 数値積分の誤差の大きさ $\left\vert I-I_n\right\vert$ が小さいと期待できる。 数値積分公式の良し悪しが $\varPhi_n$ を調べることで判定できる。

実際、講義で説明したような数値積分公式に対して、 $\varPsi_n(z)=\dsp\sum_{k=1}^n\frac{w_k}{z-x_k}$ は、 $\varPsi$ の有理関数近似となっていることが示される (詳しいことは…)。

高橋・森は、誤差の特性関数を上のように定義して、 $\mathbb{C}$ 内の $[a,b]$ を含む領域で $\left\vert\varPhi_n\right\vert$ を図示して、 研究した。