5.1.4 R. Krawczyk

Krawczyk [2]

Newton-Algorithmen zur Bestimmung von Nullstellen mit Fehlerschranken. In der vorliegenden Arbeit werden zunächst Definitionen und Eigenschaften von Intervall-Normen und Intervall-Spannen behandelt. Sodann werden einige Newton-Algorithmen zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion mit einer Veränderliehen angegeben. Diese Algorithmen liefern mit Hilfe einer Intervallarithmetik als Ergebnis ein Intervall, in dem die exakte Nullstelle liegt. Eine Verallgemeinerung des Algorithmen zur Lösung eines Gleiehungssystems wird ebenfalls hergeleitet.

Newton algorithms for determining zeros with error bounds. In the present work definitions and properties of interval norms and interval spreads are treated first. Next, some Newton algorithms are given for determining zeros of a function with a variance. These algorithms use interval arithmetic as the result of an interval in which the exact zero lies. A generalization of the algorithm for solving a Gleiehungssystems is also derived.

Newton-Algorithms for Evaluation of Roots with Error Bounds. In this paper some definitions and properties of interval-norms and spans are treated. Then several Newton-Algorithms for finding roots of functions with one variable are given. The algorithms use interval-arithmetics and yield an interval-result containing the exac root. The algorithms then are generalized to solve systems of equations.

Problemstellung

Gegeben sei ein Intervatl und eine Funktion f(x), die in diesem Intervall gewisse Voraussetzungen eiTullt. Wir wollen aulßerdern annehmen, dab die gegebene Funktion in diesem Intervall genau eine Nullstelle besitzt. (Dies trifft zum Beispiel zu, wenn die, Funktion in diesem Intervvall ihr Vorzeichen wechselt und monoton ist.) Zur Berechnung dieser Nullstelle können Iterationsverfahren verwendet warden. Das gebräuehlichste ist das Newton-Verfahren. Es liefert eine Zahlenfolge xn, welehe bei numeriseher Bestimmung aufgrund irgendeiner Bedingung nach n Schritten abbricht. Der Wert xn stellt - vorausgesetzt, daß die Folge (theoretisch) konvergiert - im allgemeinen einen Näherungswert für die gesuehte Lösung dar.

Problem

Given is an intervatl and a function f (x), which satisfies certain conditions in this interval. On the other hand, let us suppose that the given function has exactly one zero in this interval. (This is true, for example, if the function changes sign in this interval and is monotonic.) Iteration techniques can be used to compute this zero. The most common is the Newton process. It returns a sequence of numbers xn which, on numerical determination, terminates after n steps due to some condition. The value xn, assuming that the sequence converges (theoretically), is generally an approximation to the solution sought.