3.1 Krawczyk の定理

$ f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$$ C^1$ 級として、

$\displaystyle f(x)=0

を満たす $ x\in\mathbb{R}^n$ を求める。 $ f'[x]$$ x$ における微分、すなわちヤコビ行列とする:

$\displaystyle f'[x]:=\left(\frac{\rd f_i}{\rd x_j}(x)\right).

$ X\in\mathbb{IR}^n$ に対して、

$\displaystyle f'[X]:=$ $ \left\{f'[\hat x]\relmiddle\vert \hat x\in X\right\}$ の区間包囲

とおく。 $ f'[X]\in\mathbb{IR}^n$ である。

Newton-Algorithms for Evaluation of Roots with Error Bounds. In this paper some definitions and properties of interval-norms and spans are treated. Then several NEw oN-Mgorithms for finding roots of functions with one variable are given. The algorithms use interval-arithmetics and yield an interval-result containing the exac  root. The algorithms then are generalized to solve systems of equations.

$f\colon\Omega\to\mathbb{R}^n$ は $C^1$級とする。
...detilde{\bm{x}}+K(\bm{X})$ の中に
中尾・渡部 [4] では、 証明は中尾・山本 [4] を見るように、とのこと。

桂田 祐史