E.2.0.0.2 問題8-5

以下の、振り子の振動を記述する微分方程式の初期値問題を解きなさい。

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{\ell}\sin\theta. \leqno{(1)}$$

ここで $\ell$ は振り子の長さ、$g$ は重力加速度で(MKS 単位系では $g\approx 9.8m/sec^2$ です)、いずれも正の定数です。 $\theta=\theta(t)$ は振り子の鉛直線からの傾きをあらわす量で、未知関数です。初期条件として は、オモリを時刻 $t=0$ で、鉛直線から角度 $\alpha$ のところから、そっ と手放すということを意味する

$$\theta(0)=\alpha, \quad \theta'(0)=0 \leqno{(2)}$$

を課します。周期 $T$ を求めてみなさい。特に初期角度 $\alpha$ を色々変え たとき、どうなるか調べなさい(振り子の等時性は成り立っていますか？)。