D.3.1 定数係数線形常微分方程式の解の公式, 行列の指数関数

定数係数線形常微分方程式の初期値問題 (1),(2) の解は一意で ${\vec x}(t)=e^{t A}{\vec x_0}$ で与えられる。ここで $e^{t A}$ は行列の指数関 数というもので、次式で定義される:

$$e^B = \exp B \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{B^n}{n!}.$$

いくつか具体例をあげると、 $B= \ttmat{\alpha}{0} {0}{\beta}$ の場合 $e^B= \ttmat{e^\alpha}{0} {0}{e^\beta}$ , $B= \ttmat{0}{-\beta} {\beta}{0}$ の場合 $e^B= \ttmat{\cos\beta}{-\sin\beta} {\sin\beta}{\cos\beta}$ , $B= \ttmat{\alpha}{-\beta} {\beta}{\alpha}$ の場合 $e^B= e^\alpha \ttmat{\cos\beta}{-\sin\beta} {\sin\beta}{\cos\beta}$ となる(定義にしたがって計算してみれば、5 分もあれば確かめられるであろ う)。

後のために $\exp(P^{-1}B P)=P^{-1}e^B P$ となることを注意しておく。